უტოლობების ამოხსნა წარმოებულის გამოყენებით. წარმოებულის გამოყენება განტოლებების ამოსახსნელად, უტოლობების დასამტკიცებლად და ამოსახსნელად. მასალა კლასგარეშე აქტივობებისთვის. გამოხატვის ფაქტორინგი წარმოებულის გამოყენებით

1.3. წარმოებულის გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას

მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ შეიძლება წარმოებულის დახმარებით გადაჭრას განტოლების ფესვების არსებობის და ზოგიერთ შემთხვევაში მათი ძიების პრობლემები. როგორც ადრე, აქაც მთავარ როლს შეასრულებს მონოტონურობის ფუნქციის შესწავლა, მისი უკიდურესი მნიშვნელობების პოვნა. გარდა ამისა, გამოყენებული იქნება მონოტონური და უწყვეტი ფუნქციების მთელი რიგი თვისებები.

თვისება 1. თუ ფუნქცია f იზრდება ან მცირდება რაღაც ინტერვალზე, მაშინ ამ ინტერვალზე f(x)=0 განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.

ეს მტკიცება პირდაპირ გამომდინარეობს მზარდი და კლებადი ფუნქციების განმარტებიდან. f(x)=0 განტოლების ფესვი უდრის x ღერძთან y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის აბსცისა.

თვისება 2. თუ ფუნქცია f არის განსაზღვრული და უწყვეტი ინტერვალზე და იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს მის ბოლოებში, მაშინ a და b შორის არის წერტილი c, სადაც f(c)=0.

პრობლემა 1.12. განტოლების ამოხსნა

გაითვალისწინეთ რა არის განტოლების ფესვი. დავამტკიცოთ, რომ ამ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს. ვსწავლობთ f ფუნქციას სად , ერთფეროვნებისთვის. წარმოებული . მოდით დავაყენოთ ინტერვალები, რომლებზეც ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს. ამისათვის ჩვენ განვიხილავთ მას ერთფეროვნებაზე. წარმოებული . მას შემდეგ, რაც ამისთვის, მაშინ ამისთვის. ამრიგად, ფუნქცია იზრდება x-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის; . ამიტომ, ზე. ვინაიდან ფუნქცია თანაბარია, ის ყველასთვის დადებით მნიშვნელობებს იღებს. ამიტომ f იზრდება მთელ რიცხვთა წრფეზე. თვის 1-ის მიხედვით, განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი. ასე რომ, ეს არის განტოლების ერთადერთი ფესვი.

პრობლემა 1.13. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

სისტემა უდრის შემდეგს:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მეორედან - . პირველი განტოლებიდან x გამოვხატავთ y-ით: , . მერე . აყენებს, ვიღებთ ან . f ფუნქციის წარმოებული, სადაც , უდრის. ის უარყოფითია t-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. ამრიგად, f ფუნქცია მცირდება. ამრიგად, განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი. გაითვალისწინეთ რა არის მისი ფესვი. ასე რომ, სისტემის ერთადერთი გამოსავალი.

პრობლემა 1.14. დაამტკიცეთ, რომ განტოლებას აქვს უნიკალური ფესვი, რომელიც დევს ინტერვალში.

განტოლება მცირდება ეკვივალენტური გარდაქმნებით ფორმაში, სადაც . ფუნქცია f იზრდება იმიტომ ყველასთან ერთად . თვის 1-ის მიხედვით, განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ერთი ამონახსნი. ფუნქცია f არის უწყვეტი, უფრო მეტიც, , . თვისების 2-დან გამომდინარე, ინტერვალზე განტოლებას აქვს ფესვი.

მე-3 ამოცანაში საჭირო იყო იმის დამტკიცება, რომ განტოლების ფესვი რაღაც ინტერვალს ეკუთვნის. ჩვენ გამოვიყენეთ უწყვეტი ფუნქციის თვისება 2 სეგმენტზე, რომელიც იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს ამ სეგმენტის ბოლოებში. ასეთი პრობლემების გადაჭრისას ეს გზა ყოველთვის მიზნამდე არ მიდის. ზოგჯერ მიზანშეწონილია დიფერენცირებადი ფუნქციების შემდეგი თვისების გამოყენება.

თვისება 3 (როლის თეორემა). თუ ფუნქცია f უწყვეტია ინტერვალზე , დიფერენცირებადია (a,b) ინტერვალზე და f(a)=f(b), მაშინ არსებობს წერტილი ისეთი, რომ .

გეომეტრიულ ენაში თვისება 3 ნიშნავს შემდეგს: თუ , მაშინ მრუდის გრაფიკზე არის წერტილი C კოორდინატებით, სადაც გრაფის ტანგენსი არის x ღერძის პარალელურად.

პრობლემა 1.15. დაამტკიცეთ, რომ ,-ის განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ერთი რეალური ფესვი.

დავუშვათ, რომ განტოლებას აქვს მინიმუმ ორი ფესვი და . ფუნქცია f, სადაც არის დიფერენცირებადი მთელ რეალურ ხაზზე. იმიტომ რომ , მაშინ თვისების 3-ის მიხედვით, მის წარმოებულს ინტერვალზე აქვს ფესვი. თუმცა, for , განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. მიღებული წინააღმდეგობა აჩვენებს, რომ განტოლებას არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი.

პრობლემა 1.16. დაამტკიცეთ, რომ მრავალწევრი ,

აქვს მაქსიმუმ n ფესვი.

თვის 3-ის მიხედვით, მრავალწევრის ორ ფესვს შორის დევს მისი წარმოებულის ერთი ფესვი მაინც. ამიტომ, თუ f(x) მრავალწევრს აქვს , განსხვავებული ფესვები, მაშინ მის წარმოებულს უნდა ჰქონდეს მინიმუმ (k-1) ფესვები. ანალოგიურად - არანაკლებ k-2 ძირი და ა.შ., n-ე წარმოებული - მაინც (k-n) ფესვები, . ეს შეუძლებელია, რადგან ის არის არანულოვანი მუდმივი.

პრობლემა 1.17. დაამტკიცეთ, რომ მრავალწევრს აქვს ფესვი 0-დან 1-მდე ().

თვისება 2-ის მიზანზე გამოყენება არ იწვევს, ვინაიდან . განვიხილოთ ფუნქცია g, სადაც . მისთვის f ფუნქცია წარმოებულია. მას შემდეგ, რაც საკუთრების მიხედვით 3 ზოგიერთისთვის .

პრობლემა 1.18. დაამტკიცეთ, რომ განტოლება არ აქვს ნამდვილი ფესვები.

დაე იყოს , მაშინ . თუ x არის განტოლების ფესვი, მაშინ ე.ი. ფუნქცია f, მისი უწყვეტობის გამო, მცირდება თითოეული ფესვის სიახლოვეს. გაითვალისწინეთ, რომ თუ განტოლებას აქვს ფესვები, მაშინ ისინი უარყოფითია. ცნობილია, რომ n-ე ხარისხის მრავალწევრს არაუმეტეს n ფესვი აქვს. აღნიშნეთ - ყველაზე დიდი ფესვებიდან. მაშინ არსებობს ისეთი, რომ. ვინაიდან , მაშინ ინტერვალი უნდა შეიცავდეს f(x) მრავალწევრის x ფესვს. მიიღო წინააღმდეგობა.

განვიხილოთ ფორმის განტოლება, სადაც f, g არიან ურთიერთშებრუნებული, მზარდი ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ განსაზღვრების იგივე დომენები. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს განტოლება არის განტოლების ტოლფასი. (3)

მართლაც, დაე იყოს (3) განტოლების ფესვი, ე.ი. . იმის გათვალისწინებით, რომ g ფუნქციის დომენი ემთხვევა f ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს და პირიქით, შეგვიძლია დავწეროთ: , ან , ე.ი. , და არის განტოლების ფესვი .

პირიქით, მოდით, მაგრამ. შემდეგ ან. პირველი შემთხვევა. იგივეა მეორე შემთხვევისთვისაც.

ამრიგად, მიღებულია განტოლებების ეკვივალენტური ტრანსფორმაციის ერთი კონკრეტული მეთოდი.

პრობლემა 1.19. ამოხსენით განტოლება.

მოდით გადავიწეროთ ეს განტოლება ფორმაში . ფუნქცია არის უწყვეტი, მზარდი (როგორც ორი მზარდი ფუნქციის ჯამი და ), ამიტომ მას აქვს შებრუნებული. მოდი ვიპოვოთ: , . ასე რომ, f-ის შებრუნებული ფუნქციაა , ემთხვევა განტოლების მარჯვენა მხარეს. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, განტოლება განტოლების ტოლფასია . გასაგებია, რომ ეს არის განტოლების ფესვი. დარწმუნდით, რომ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს.

ჩამოყალიბებულ ჰიპოთეზას უნდა ამოეხსნა შემდეგი ამოცანები: 1. გამოეკვლია ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების როლი მათემატიკის სწავლებაში; 2. ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის უნარების ფორმირების მეთოდოლოგიის შემუშავება, რომელიც მიმართულია ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების შემუშავებისკენ; 3. შემუშავებული მეთოდოლოგიის ეფექტურობის ექსპერიმენტულად შემოწმება. გადაწყვეტილებისთვის...

კოორდინატთა ღერძის წერტილები. გაკვეთილი ნომერი 4. თემა: ანალიტიკური მეთოდი. ფილიალის მეთოდი. გაკვეთილის მიზანი: გავაცნოთ მოსწავლეებს პარამეტრის შემცველი განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდი. მასწავლებელი კითხულობს: იხილეთ , , , , მოსწავლეთა კითხვა: იხილეთ შეჯამება: შეხედეთ სხვადასხვა მნიშვნელობებს, რომლებიც შეიძლება მიიღოს პარამეტრმა. განტოლების გამარტივება და განტოლების პროდუქტამდე მიყვანა...

ალგებრაში და ანალიზის საწყისებში, სახელმწიფო საბოლოო სერტიფიცირებისთვის მზადება, გარე დამოუკიდებელი შეფასება. პრობლემების საკმარისად დიდი რაოდენობა ავლენს უსასრულო სიდიდის ანალიზის პოტენციურ შესაძლებლობებს. 1. წარმოებული და მისი გამოყენება გამოყენებითი ამოცანების ამოხსნისთვის 1.1 ისტორიული ცნობები დიფერენციალური გამოთვლების რიგი ამოცანები ამოხსნილი იყო ანტიკურ ხანაში. ისინი შეხვდნენ...

ზემოაღნიშნული თეორემა მოწმობს არსებობის დასამტკიცებლად აპრიორული შეფასებების მნიშვნელობაზე და ამონახსნებისთვის უნიკალურობის თეორემების მნიშვნელობაზე. თავი 2. განაცხადის მაგალითი 1. განვიხილოთ ინტეგრალური განტოლება მცირე რეალური პარამეტრით λ: (1) ეს არის განტოლება А()х = у() - ოპერატორის განტოლება С[-π-ში; π], სადაც ვაჩვენოთ, რომ A() არის ანალიტიკური 0 წერტილში, ე.ი. დაიშალა სახეობების სერიად. მოდით დავშალოთ ფუნქცია...

ზომა: px

შთაბეჭდილების დაწყება გვერდიდან:

ტრანსკრიფცია

1 1 წარმოებულის გამოყენება განტოლებების ამოხსნისთვის, უტოლობების დასამტკიცებლად და ამოხსნისთვის მასალა სურვილისამებრ კლასებისთვის Piryutko ON - BSPU მათემატიკის და მათემატიკის სწავლების მეთოდების კათედრის ასოცირებული პროფესორი, კოვგორენია ლ.ვ. - მათემატიკისა და სწავლების მეთოდიკის კათედრის მაგისტრანტი ბელორუსის სახელმწიფო პედაგოგიური უნივერსიტეტის მათემატიკა ტრადიციულად, სასკოლო სახელმძღვანელოებში, წარმოებულის გამოყენება ეხება მის ფიზიკურ და გეომეტრიულ მნიშვნელობას, ფუნქციების კვლევასა და გრაფიკას, ოპტიმიზაციის პრობლემების გადაჭრას. , უტოლობების მტკიცებულება, რომელიც შეიძლება გამოვიყენოთ სურვილისამებრ კლასებში, მიზანშეწონილია, არსებულ სახელმძღვანელოებთან ერთად გამოიყენოთ სახელმძღვანელოები მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით კლასებისთვის. წარმოებულის გამოყენება განტოლებების ამოსახსნელად (გაკვეთილი 1). f(x)=0 განტოლებების ამოხსნა წარმოებულის გამოყენებით f(x) ფუნქციის გამოკვლევით; წარმოებულის დახმარებით ფესვის არსებობის, მოცემული განტოლების ფესვის უნიკალურობის დამტკიცების უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება. განმავითარებელი მიზნები: განზოგადების და კონკრეტიზაციის მეთოდების გამოყენების უნარი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმების გამოყენებისას; ასწავლოს ანალოგიის გამოყენება, შედარება, შედარება, კლასიფიკაცია განტოლებების ამოხსნის ამა თუ იმ მეთოდის არჩევისას საგანმანათლებლო მიზნები: ამოცანების ამოხსნისას სიზუსტის, სიცხადის და თანმიმდევრულობის გამომუშავება; საკუთარი საგანმანათლებლო და შემეცნებითი აქტივობის დაგეგმვის უნარის ჩამოყალიბება ძირითადი თეორიული დებულებების გამეორება მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის გაზრდის (კლების) დადგენა მოცემულ ინტერვალზე ფუნქცია იზრდება (მცირდება), თუ

2 2 ნებისმიერი წერტილი და იმ ინტერვალიდან, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, უტოლობა არის ჭეშმარიტი, ანუ კლებადი ფუნქციების გაზრდა I-ზე მზარდი ან კლებადი ეწოდება I-ზე ფუნქციის გაზრდის საკმარისი კრიტერიუმი, თუ I ინტერვალის თითოეულ წერტილში > 0, მაშინ ფუნქცია იზრდება I-ით საკმარისი კრიტერიუმი ფუნქციის შესამცირებლად თუ< 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I Или кратко: Теорема1 (первая теорема Больцано-Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда на интервале существует хотя бы одно значение такое, что Теорема II Если функция непрерывна на промежутке I, а ее производная неотрицательна(соответственно неположительна) внутри I и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция возрастает (соответственно убывает) на I Перейдем к решению задач Решить уравнение это значит найти все корни уравнения или доказать, что уравнение корней не имеет Одним из методов решения уравнений является определение корня, тн «подбором» Этот метод используется в случаях, когда вычислением находится один или несколько корней уравнения, но решить уравнение с помощью тождественных преобразований не

3 3, როგორც ჩანს, შესაძლებელია ან იწვევს რთულ გარდაქმნებს, თუ შესაძლებელია დაამტკიცოთ, რომ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, გარდა ნაპოვნი ფესვებისა, მაშინ პრობლემა მოგვარებულია. ამ განტოლების ფესვი დავამტკიცოთ, რომ ეს ფესვი უნიკალურია ფუნქციის ერთფეროვნების თვისებების გამოყენებით 1 დავწეროთ ეს განტოლება სახით: 2 Let; 3; 4, განსაზღვრების მთელ დომენზე 5 ვინაიდან ფუნქცია იზრდება, განტოლებას არ აქვს ერთზე მეტი ფესვი, ამიტომ არჩეული ფესვი არის ამ განტოლების ერთადერთი ფესვი პასუხი: მოდით ჩამოვაყალიბოთ ალგორითმები ამ ტიპის ამოცანების გადასაჭრელად ალგორითმი (I ) წარმოებულის გამოყენებით განტოლებების ამოხსნისთვის: »ცვლადის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, განტოლების ფესვი 2 განტოლება ფორმამდე მიიტანეთ; 3 იპოვნეთ ფუნქციის დომენი 4 ფუნქციის მონოტონურობის გამოკვლევა ან მის კუთვნილ ინტერვალებზე; 5 თუ ფუნქცია იზრდება (მცირდება) განსახილველ ინტერვალზე, მაშინ გამოიტანეთ დასკვნა ამ ინტერვალზე განტოლების ნაპოვნი ფესვის უნიკალურობის შესახებ განტოლების ფესვების რაოდენობის განსაზღვრის ალგორითმი (II): 1 მიიტანეთ განტოლება ფორმა; 2 იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები;

4 4 3 გამოიკვლიეთ ფუნქცია ერთფეროვნებისთვის ან 4-ის კუთვნილი ინტერვალებისთვის, თუ შესაძლებელია, შეამოწმეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნიშნები სეგმენტის ბოლოებში D(f)-დან; 5 დასკვნა: o თუ ინტერვალში (), მაშინ არის მაქსიმუმ ერთი მნიშვნელობა ისეთი, რომ; o თუ ინტერვალზე (და მაშინ არის უნიკალური მნიშვნელობა ისეთი, რომ ამოხსენით შემდეგი განტოლებები ალგორითმის გამოყენებით 2 ამოხსენით განტოლება 1 დაადგინეთ, რომ ამ განტოლების ფესვი არის 2 ეს განტოლება დაიყვანება ფორმამდე: 3 ; =0 4 on დეფინიციის მთელი დომენი (გაითვალისწინეთ, რომ) 5 ვინაიდან ფუნქცია იზრდება, მაშინ განტოლების ნაპოვნი ფესვი ერთადერთი პასუხია: 3 ამოხსნის განტოლებას 1 ჩვენ განვსაზღვრავთ, რომ ამ განტოლების ფესვი არის 2 ეს განტოლება დაიყვანება ფორმამდე : =0; 3

5 5 გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია ლუწია, მაშასადამე, ის ასევე არის ამ განტოლების ფესვი, ამიტომ საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია ერთფეროვანია ნახევარინტერვალზე; 4-ზე; 5 ვინაიდან ფუნქცია მცირდება ნახევარინტერვალზე, განტოლებას, ფუნქციის თანასწორობის გამო, სხვა ფესვები არ აქვს, გარდა პასუხი: 4 ამოხსენით განტოლება 1 გაითვალისწინეთ, რომ ამ განტოლების ფესვები არის მნიშვნელობები 2. ეს განტოლება იქნება შემცირდეს ფორმამდე: ვინაიდან ფუნქცია ლუწია, საკმარისია იმის დასამტკიცებლად, რომ ის ერთფეროვანია ნახევარინტერვალზე; 4 ნახევარი ინტერვალით; 5 ვინაიდან ფუნქცია იზრდება ნახევრად ინტერვალზე, განტოლებას, პარიტეტის გამო, სხვა ფესვები არ აქვს პასუხის გარდა: 5 დაამტკიცეთ, რომ განტოლებას ერთი ფესვი აქვს, დასამტკიცებლად გამოვიყენოთ ალგორითმი II. ; გაითვალისწინეთ, რომ,

6 6 3, 4 ვინაიდან წარმოებული ქრება ერთ წერტილში, 5-დან, მაშინ x-ისთვის გვაქვს გაზრდილი, შესაბამისად, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, თქვენ ხედავთ, რომ ეს ფესვი არის 6 ამოხსნა განტოლება 1 არის ამის ფესვი განტოლება; 2; 3 D 4 5-ზე ვინაიდან ფუნქცია იზრდება ნახევრად ინტერვალზე, განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს x=1-ის გარდა პასუხი: 7 ამოხსენით 1 განტოლება ჩვენ ვადგენთ, რომ ამ განტოლების ფესვი არის 2; 3D; 4 ფუნქცია არის ლუწი*, მაშასადამე, ის ასევე არის ფესვი შენიშვნა, რომ x=0 არ არის ამ განტოლების ფესვი მოდით ვაჩვენოთ, რომ ფუნქცია ერთფეროვანია ინტერვალზე ინტერვალზე, სხვა არ აქვს.

7 7 *პარიტეტის დადასტურება: 1) ნულის მიმართ 2) ფუნქციის დომენი სიმეტრიულია 8 განტოლების ამოხსნა ჩანს, რომ ამ განტოლების ფესვი არის 1 Let; 2 ფუნქცია ლუწი და პერიოდულია ძირითად პერიოდთან, ამიტომ განტოლების ამონახსნებიც იქნება, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს. ამრიგად, საკმარისია დავრწმუნდეთ, რომ ფუნქცია ერთფეროვანია, მაგალითად, ინტერვალი 3 როგორც, მაშინ ასეა ფუნქცია იზრდება მითითებულ ინტერვალზე 4 აქედან გამომდინარეობს, რომ განტოლების ფესვები იქნება მხოლოდ, პასუხი:, 9 განტოლების ამოხსნა ჩვენ განვსაზღვრავთ, რომ ამ განტოლების ფესვი არის მნიშვნელობა ცვლადი 1 Let; 2 გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია ლუწია და პერიოდულია მთავარ პერიოდთან, ამიტომ განტოლების ამონახსნებიც იქნება, ვაჩვენოთ, რომ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს.

8 8 საკმარისია დავრწმუნდეთ, რომ ფუნქცია 3 ინტერვალში არის მონოტონური მითითებულ ინტერვალზე, ფუნქცია იზრდება 4 აქედან გამომდინარეობს, რომ განტოლების ფესვები იქნება, პასუხი:, უნდა აღინიშნოს, რომ შემოთავაზებული ამოცანები შეიძლება ამოხსნილია წარმოებულის გამოყენების გარეშე მიზანშეწონილია განიხილოს და განიხილოს მოსწავლეებთან მათი ამოხსნის სხვა მეთოდები. მოდით მივცეთ ზოგიერთი განტოლების მოკლე ამონახსნები სხვა მიდგომების გამოყენებით 1 გაითვალისწინეთ, რომ x>0-ისთვის ფუნქცია y= x 2 +9 იზრდება, მცირდება. , იზრდება, იზრდება მაშასადამე, ამ უკანასკნელის მნიშვნელობა, ტოლი 24, აღებულია არგუმენტის მაქსიმუმ ერთი მნიშვნელობისთვის, მაშასადამე, არჩეული მნიშვნელობა x=4 არის ამ განტოლების ერთადერთი ამონახსნი, ამ განტოლების ფესვი არის 3, მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:, შემდეგ განტოლების ამოხსნა მცირდება სისტემის ამოხსნამდე (t + k \u003d 4, k 4 + t 4 =82 მეორე განტოლება მივიყვანოთ ფორმაში: ამ განტოლებიდან ვპოულობთ tk=3 ან tk=29 ამოხსნის სისტემას (t+k=4, kt=3; (t+k=4, kt=29, ვიღებთ t=1, k=3 ან t=3, k=1 ჩანაცვლებით (1), ვიღებთ x=

9 9 4 თუ შევნიშნავთ, რომ x 0 ფესვთან ერთად რიცხვი - x 0 ასევე არის განტოლების ფესვი, ვხსნით მას x>0-ზე ფრჩხილების გახსნით და განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორებად დაყოფით, მივიღებთ: მაშასადამე, ეს განტოლება არის ინტერვალზე განიხილეთ შემდეგი ამოცანები: 1დაამტკიცეთ, რომ მტკიცებულებისთვის განიხილეთ ფუნქცია ინტერვალზე; მოდით შევამოწმოთ იგი ერთფეროვნებისთვის, საიდანაც გამოდის, რომ ფუნქცია მცირდება და-სთვის

11 11 აღვნიშნოთ სეგმენტის მარცხენა საზღვრით: შემდეგ, სეგმენტზე კლებადი ფუნქციის გამო, ამ სეგმენტიდან ყველა x-ისთვის კლებადი ფუნქციის განსაზღვრით ვიღებთ ან 2 გამოკვლევის ფუნქციას ერთფეროვნებისთვის x-ისთვის: ; იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული; მაგალითი 1 გვიჩვენებს, რომ, მაშასადამე, როდესაც ფუნქცია უწყვეტია და ფუნქციის წარმოებული ნულის ტოლია ამ სეგმენტის ერთ წერტილში, შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება განსახილველ სეგმენტზე. აღნიშნეთ სეგმენტის მარცხენა საზღვრით: , რომ უტოლობა მოქმედებს მტკიცებულება 1 Let 2 ; 3, ასე რომ, მინიმალური წერტილი, ასევე არის 4-ზე ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის წერტილი იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში: 5 ამიტომ, ანუ, განხილული ამოცანების ამოხსნის საფუძველზე, შეგვიძლია წარმოებულის გამოყენებით უტოლობების დასადასტურებლად ალგორითმის (iii) შედგენა: 1 უტოლობის ფორმამდე მიყვანა;

12 12 2 იპოვეთ ფუნქციის ფარგლები; 3 გამოიკვლიეთ ფუნქცია ერთფეროვნებისა და ექსტრემებისთვის 4-ზე ან ინტერვალზე, რომელიც ეკუთვნის 4-ს წარმოადგინეთ 0 (უტოლობის მარჯვენა მხარეს) როგორც (); 5 უტოლობიდან დავასკვნათ: თუ ფუნქცია იზრდება, მაშინ; თუ ფუნქცია მცირდება, მაშინ; ამ ალგორითმის მიხედვით ჩვენ შევასრულებთ შემდეგ დავალებებს: 4 დავამტკიცოთ უტოლობა Proof 1 Let; 2 3, ; 4 მოდით 5 და გაზრდის ფუნქციის განმარტებით გვაქვს, დადასტურებულები 5 დაამტკიცონ, რომ მტკიცებულება 1 Let; 2 3 როცა გვაქვს; 4 მოდით 5, ჩვენ გვექნება დამტკიცება, 6 განსაზღვრეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც 1 Let; 2

13 13 3, 4 At, at აქედან გამომდინარე, ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი; ვინაიდან f(1)=0, მაშინ f(x)< 0 при всех Ответ: неравенство выполняется при 7 Решить неравенство: Для решения этого неравенства важно сравнить основание логарифма (x-lnx)c единицей В задаче 6 занятия 2 показано, что x-lnx 1, поэтому для x>0, x 1(1) ეს უტოლობა უდრის უტოლობას. ამოხსენით იგი ამ გამოხატვის ჩანაცვლებით მასთან დამთხვევის ნიშნით. ეს სისტემა x (განსაზღვრების დომენის გათვალისწინებით ვიღებთ პასუხს: ამ უტოლობის ამოხსნა x პასუხი: x

14 14 8 მართალია თუ არა უტოლობა? 1 გადავიწეროთ ეს უტოლობა სახით:, 2 განვიხილოთ ფუნქცია f(x) = x + cox მისი მონოტონურობის გამოკვლევით (, მივიღებთ, რომ ფუნქცია იზრდება x 3-ით, მოდით, მაშინ უტოლობა აღმოჩნდა ჭეშმარიტი 8 არის უტოლობა მართალია?1 შეასრულეთ რამდენიმე გარდაქმნა, 2 მოდით, 3 რადგან, მიზანშეწონილია განიხილოს ფუნქცია 4 ინტერვალზე, როცა გვაქვს, როცა გვაქვს, ანუ წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი და რადგან ეს წერტილი არის მხოლოდ ექსტრემალური წერტილი ინტერვალზე, ის ასევე არის წერტილი, სადაც ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას 5: 6-ისთვის, შესაბამისად, უტოლობა მართალია ზემოაღნიშნული სავარჯიშოებიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაყალიბებთ ალგორითმს (iv) რიცხვითი უტოლობების დასადასტურებლად. წარმოებული რა?მტკიცება

15 15 გადააქციეთ უტოლობა ფორმაში:, 1 განვიხილოთ ფუნქცია 2 Let Since, შემდეგ განიხილეთ ფუნქცია ინტერვალზე 3, 4, მოცემულ ინტერვალზე გამოიყენეთ ფუნქციის გაზრდის განმარტება მოცემულ ინტერვალზე: ანალოგიურად წინა, მივიღებთ:, გავამრავლოთ მიღებული უტოლობები: დაამტკიცეთ 10დაამტკიცეთ, რომ: a ) > ; ბ)? ა) 1 ავიღოთ ამ უტოლობის ლოგარითმი: ბოლო უტოლობას წარმოვადგენთ სახით, სადაც, ; 2იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:)ამიტომ, at, 3Let, გამოვიყენოთ ფუნქციის გაზრდის განმარტება მოცემულ ინტერვალზე, მივიღებთ: ბ) 1ავიღოთ ამ უტოლობის ლოგარითმი: ;

16 16, 2 გამოვსახოთ უტოლობა სახით, სადაც, 3 იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: მაშასადამე, at, 4 Let, გამოიყენეთ მოცემულ ინტერვალზე კლებადი ფუნქციის განსაზღვრება:, 11 მეტი რა არის:? 1 დავუშვათ, რომ ფორმაში, სადაც, 2 ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული. წარმოვადგენთ ბოლო უტოლობას:, მაშასადამე, at, რადგან x = e-ზე, მაშინ ფუნქცია მცირდება x 3 : 12-ზე მეტი რა არის? 1 დავუშვათ, რომ 2, სადაც, ; მაგალითი 10ბ) გვიჩვენებს, რომ როდესაც

17 17, მაშასადამე, ფუნქცია მცირდება 3-ზე მოდით, მოცემულ ინტერვალზე მცირდება, ვიყენებთ მოცემულ ინტერვალზე კლების ფუნქციის განმარტებას:, ვარაუდი არასწორი აღმოჩნდა პასუხი: მიზანშეწონილია განიხილოს სხვა გზები. უტოლობების დამტკიცება და ამოხსნა მაგალითად, უტოლობა 1-ის დასამტკიცებლად გამოიყენეთ ფუნქციის ამოზნექილი და ჩაზნექილი და ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი წერტილში (0;0) უტოლობის დასამტკიცებლად 2, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფუნქციების გრაფიკები უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები და მათი თვისებები 3-ის უტოლობის დასამტკიცებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ საპასუხო რიცხვების თვისება: 12, შეგიძლიათ გამოიყენოთ თითოეული გამონათქვამის შედარების ტექნიკა შუალედურ რიცხვთან. შეგიძლიათ აჩვენოთ, რომ და მართლაც, >, (> საიდან გამომდინარეობს, რომ დავალებები დამოუკიდებელი სამუშაოსთვის: 1? 2 რა არის მეტი 2tg1 èëè tg2? 3 დაამტკიცე, რომ როდის რა მოხდება, თუ 5 რა არის მეტი: 6 რა არის მეტი:? 7 ამოხსენი უტოლობა ლიტერატურა 1Vilenkin, N Ya Ivashev MusatovOSIDR "ანალიზის დასაწყისის ალგებრა"10 (მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლა) / IYA Vilenkin, - M: განათლება 2000 2Kolmogorov, მეცნიერებათა აკადემია, აბრამოვი AM, - და სხვები "დაწყების ალგებრა". ანალიზის" (სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის კლასებისთვის) / მეცნიერებათა აკადემია კოლმოგოროვი მ: განმანათლებლობა, პირუტკო, შემეცნებითი განზოგადებული მეთოდების ფორმირების შესახებ.

18 18 საქმიანობა / Piryutko ON// Narodnaya asveta -9, 2008С 32-40

19 19

მათემატიკისა და ინფორმატიკის დეპარტამენტი მათემატიკური ანალიზი საგანმანათლებლო და მეთოდოლოგიური კომპლექსი HPE სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ დისტანციური ტექნოლოგიების გამოყენებით მოდული 4 წარმოებულის აპლიკაციები შედგენილი: ასოცირებული პროფესორი

უმაღლესი მათემატიკის მათემატიკისა და ინფორმატიკის დეპარტამენტი საგანმანათლებლო და მეთოდური კომპლექსი საშუალო პროფესიული განათლების სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ დისტანციური ტექნოლოგიების გამოყენებით მოდული დიფერენციალური გაანგარიშება შედგენილი:

თემა 39. „ფუნქციების წარმოებულები“ x 0 წერტილში ფუნქციის წარმოებულის ფუნქციას ეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი ცვლადის ზრდასთან, ანუ = lim = lim + ( ) წარმოებულთა ცხრილი: წარმოებული

ფუნქცია ფუნქციების შესწავლა და შედგენა. მონოტონურობის გამოკვლევა ინტერვალზე. b ინტერვალზე f არ მცირდება, თუ f f; არ იზრდება, თუ f f; a არის მონოტონურად მკაცრად მზარდი, თუ f f

ლექცია 9. უმაღლესი რიგის წარმოებულები და დიფერენციაციები, მათი თვისებები. ფუნქციის ექსტრემალური წერტილები. ფერმას და როლის თეორემები. დაე, ფუნქცია y იყოს დიფერენცირებადი ზოგიერთ სეგმენტზე [b]. ამ შემთხვევაში, მისი წარმოებული

ფუნქციების დახატვა წარმოებულის გამოყენებით ფუნქციის გრაფიკის წერტილებით გამოსახვის მეთოდი არ არის სრულყოფილი. ქულების დიდი რაოდენობის ორდინატების გამოთვლაც კი არ იძლევა გრაფიკის ზუსტ წარმოდგენას, მაგრამ,

1 SA Lavrenchenko ლექცია 10 ფუნქციის გამოკვლევა წარმოებულების გამოყენებით 1 ფუნქციის გამოკვლევა პირველი წარმოებულის გამოყენებით ინტერვალით ვგულისხმობთ ან სასრულ ინტერვალს, ან რომელიმე ქვემოთ ჩამოთვლილთაგანს

საბაზისო მაგისტრატურის ამოცანებისა და კითხვების ნიმუში სემესტრული თანმიმდევრობის ლიმიტი Simple Calculate Sequence Limit l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 გამოთვალეთ თანმიმდევრობის ლიმიტი

მოდული 7 „ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები“. ხარისხის ცნების განზოგადება. ხარისხის ფესვი და მისი თვისებები.. ირაციონალური განტოლებები.. ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით.. ექსპონენციალური ფუნქცია..

ექსპონენციალური განტოლებები. გადაწყვეტის მეთოდები. დუბოვა მარია იგორევნა 7 78-57 ექსპონენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც შეიცავს ცვლადს მხოლოდ მაჩვენებელში. განვიხილოთ ექსპონენციალური განტოლების რამდენიმე ტიპი,

ლექცია ფუნქციის გამოკვლევა და მისი გრაფიკის აგება რეზიუმე: ფუნქცია გამოკვლეულია ერთფეროვნების, ექსტრემალური, ამოზნექილ-ჩაზნექილი, ასიმპტოტების არსებობისთვის.

დიფერენციალური გამოთვლების გამოყენება ფუნქციის ერთფეროვნება ფუნქციის კვლევაში ლოკალური კიდურა ამოზნექილი ფუნქციის ერთფეროვნება Def. ფუნქცია f x იზრდება ინტერვალზე (a, b), თუ x 1, x 2 a,

წარმოებული და დიფერენციაციის წესები დაე, ფუნქცია y = f იყოს გაზრდილი y f 0 f 0, რომელიც შეესაბამება არგუმენტის ზრდას 0 განმარტება თუ არსებობს y ფუნქციის ზრდის შეფარდება გამომძახებლის მიმართ.

მოსკოვის სამოქალაქო ავიაციის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი ვ.მ. ლიუბიმოვი, ე.ა. ჟუკოვა, ვ.ა. უხოვა, იუ.ა. შურინოვი

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

ფუნქციების გამოკვლევა წარმოებულის დახმარებით. ფუნქციების გაზრდა და შემცირება. თეორემა.) თუ ვ) ფუნქციას აქვს წარმოებული ინტერვალზე და იზრდება ამ ინტერვალზე, მაშინ მისი წარმოებული ამ ინტერვალზე.

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო უმაღლესი პროფესიული განათლების ავტონომიური საგანმანათლებლო დაწესებულება ერ

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო სარატოვის ეროვნული კვლევითი სახელმწიფო უნივერსიტეტი

ფუნქციების გრაფიკების აგება 1. ფუნქციის შესწავლის გეგმა გრაფიკის დახატვისას 1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი. ხშირად სასარგებლოა ფუნქციის მრავალი მნიშვნელობის გათვალისწინება. შეისწავლეთ ფუნქციის განსაკუთრებული თვისებები:

ლექცია 23 მელნის წერტილის ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილი და ჩაზნექილი y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება ამოზნექილი (a; b) ინტერვალზე, თუ იგი მდებარეობს ამ ინტერვალზე მისი რომელიმე ტანგენტის ქვემოთ. გრაფიკი

მეთოდოლოგიური ინსტრუქციები გამოთვლების ამოცანების შესახებ უმაღლესი მათემატიკის კურსზე "ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების სერია ორმაგი ინტეგრალები" ნაწილი III თემატური სერიები შინაარსი სერია რიცხვითი სერიები კონვერგენცია და დიფერენციაცია

პრობლემების გადაჭრის განსხვავებული მიდგომები C C C5 ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 9 წლიანი მზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის (მასალა მასწავლებლებისთვის ლექციისთვის) პროკოფიევი ა.ა. [ელფოსტა დაცულია]ამოცანები C მაგალითი (USE C) ამოხსენით განტოლებათა სისტემა y si (si) (7 y)

პრაქტიკული სამუშაო ფუნქციის სრული შესწავლა და გრაფიკის დახატვა მიზანი: ფუნქციების კვლევისა და შედგენის უნარების კონსოლიდაცია აღჭურვილობა (მოწყობილობები, მასალები, დიდაქტიკური მხარდაჭერა): მეთოდოლოგიური

განყოფილება ერთი და რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გამოთვლა რეალური არგუმენტის ფუნქცია რეალური რიცხვები დადებით მთელ რიცხვებს ეწოდება ნატურალური რიცხვები ნატურალურ რიცხვებში დამატება

პრაქტიკული სამუშაო 6 თემა: „ფუნქციების სრული შესწავლა. გრაფიკების აგება ”სამუშაოს მიზანი: ვისწავლოთ ფუნქციების შესწავლა ზოგადი სქემის მიხედვით და ავაშენოთ გრაფიკები. სამუშაოს შედეგად სტუდენტმა უნდა:

ალგებრაში მოსწავლეთა მომზადების დონის მოთხოვნები და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი 0 კლასებში. მათემატიკის სიღრმისეულ დონეზე შესწავლის შედეგად, მათემატიკური მეცნიერების მნიშვნელობა ამოცანების გადასაჭრელად,

ს.შესტაკოვი, [ელფოსტა დაცულია], მოსკოვი 9 კლასი. დასაწყისი იხილეთ, / 05 უტოლობების ამოხსნა

თავი 3. ფუნქციების გამოკვლევა წარმოებულების დახმარებით 3.1. უკიდურესობები და ერთფეროვნება განვიხილოთ ფუნქცია y = f () განსაზღვრული I R ინტერვალზე. ნათქვამია, რომ მას აქვს ლოკალური მაქსიმუმი წერტილში.

ფუნქციების კვლევა საკმარისი პირობები ფუნქციის გაზრდისა და შემცირებისთვის: თუ დიფერენცირებადი ფუნქციის წარმოებული დადებითია რაღაც X ინტერვალში, მაშინ ის იზრდება ამ ინტერვალზე, თუ

0.5 ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობა. მეორადი წიგნები:. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი 0 - რედაქციით A.N. Kolmogorov. დამოუკიდებელი და საკონტროლო სამუშაოები ალგებრაზე 0- რედაქტირებულია E.P. Ershov

საზღვრები და უწყვეტობა. ფუნქციის ლიმიტი მოდით ფუნქცია = f) განისაზღვროს წერტილის რომელიმე სამეზობლოში = a. ამავდროულად, a წერტილში, ფუნქცია აუცილებლად არ არის განსაზღვრული. განმარტება. რიცხვს b ეწოდება ლიმიტი

~ 1 ~ „ფუნქციის მონოტონურობის კრიტერიუმები“ x)

საგნობრივი სწავლის შედეგები სამუშაო პროგრამა ალგებრა საგანზე 1 აკადემიური საგნის ათვისების დაგეგმილი შედეგები მოთხოვნები მოსწავლის მომზადების საფეხურზე

VA Shilinets, ასოცირებული პროფესორი, ბელორუსის სახელმწიფო პედაგოგიური უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტი

მოდული და წარმოებული V.V. სილვესტროვი ზოგიერთი ამოცანის გადაჭრისას უნდა მოიძებნოს ფუნქციის წარმოებული, რომელიც შეიცავს ერთ ან მეტ მოდულს. ასეთი ამოცანები შესაძლებელია ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზეც.

ბელორუსის რესპუბლიკის განათლების სამინისტრო საგანმანათლებლო დაწესებულება „იანკა კუპალას სახელობის გროდნოს სახელმწიფო უნივერსიტეტი“ Yu.Yu. გნეზდოვსკი, ვ.ნ.გორბუზოვი, პ.ფ. პრონევიჩი ექსპონენციალური და ლოგარითმული

სერგეი ბელიაევი გვერდი 1 მათემატიკური მინიმუმი ნაწილი 1 თეორიული 1 არის თუ არა განმარტება სწორი ორი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მოცემულ რიცხვზე

ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები მაგალითი 1. ნახატზე ნაჩვენებია (1;13) ინტერვალზე განსაზღვრული f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი y =f (x). იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები

ოკუპაცია. ხარისხი თვითნებური რეალური მაჩვენებლით, მისი თვისებები. სიმძლავრის ფუნქცია, მისი თვისებები, გრაფიკა.. გავიხსენოთ ხარისხის თვისებები რაციონალური მაჩვენებლით. a a a a a ბუნებრივი დროისთვის

I V იაკოვლევი მასალები მათემატიკაზე MathUsru ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობა ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობა არის განტოლებები და უტოლობა, რომლებშიც ცვლადი არის ნიშნის ქვეშ.

მოდული „განგრძობითობისა და წარმოებულის გამოყენება. წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად. უწყვეტობის გამოყენება.. ინტერვალების მეთოდი.. გრაფიკის ტანგენტი. ლაგრანგის ფორმულა. 4. წარმოებულის გამოყენება

გაკვეთილი 7 საშუალო მნიშვნელობის თეორემები. L'Hôpital-ის წესი 7. საშუალო ღირებულების თეორემები საშუალო ღირებულების თეორემები არის სამი თეორემა: როლი, ლაგრანჟი და კოში, რომელთაგან თითოეული აზოგადებს წინას. ამ თეორემებსაც უწოდებენ

პრაქტიკული სამუშაო "წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესწავლაში" მიზანი: ZUN-ის კონსოლიდაცია და ტესტირება წარმოებულის გამოყენებით ფუნქციების შესწავლაზე. აღჭურვილობა: საკანცელარიო, მეთოდოლოგიური

IV იაკოვლევი მასალები მათემატიკაზე MathUs.ru სიმეტრია პარამეტრებთან ამოცანებში სიმეტრია მათემატიკის და ფიზიკის ერთ-ერთი მთავარი ცნებაა. თქვენ იცნობთ ფიგურების გეომეტრიულ სიმეტრიას და ზოგადად სხვადასხვა

ახსნა-განმარტება ეს სამუშაო პროგრამა „ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი“ შემუშავებულია: - 2012 წლის 29 დეკემბრის ფედერალური კანონი No273-FZ (2015 წლის 13 ივლისი შესწორებული) „რუსეთის ფედერაციაში განათლების შესახებ“ ფედერალური კანონის საფუძველზე. ;

რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტრო რუსეთის ნავთობისა და გაზის სახელმწიფო უნივერსიტეტი ი.მ. გუბკინა V.I. ივანოვი ს.ი. ვაზინის ინსტრუქციები თემის შესასწავლად ფუნქციების კვლევა (ამისთვის

ლიმი 3 ფუნქციების დიფერენციაცია 3 ფუნქციის წარმოებული f ფუნქციის წარმოებულს წერტილში ეწოდება შემდეგი ზღვარი f f df f "d, სადაც f" და df d წარმოებულის სიმბოლოებია წარმოებულის პოვნის ოპერაცია.

მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება საშუალო სკოლა 4 ბალტიისკში

კვლევითი სამუშაო მათემატიკა "ფუნქციის ექსტრემალური თვისებების გამოყენება განტოლებების ამოსახსნელად" დაასრულა: ელენა გუდკოვა, მე-11 კლასის "G" MBOU საშუალო სკოლა "Anninsky Lyceum" p.g.t. ანა ხელმძღვანელი:

1. ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ თეორემა კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვრის უნიკალურობის შესახებ. თეორემა (ზღვრის უნიკალურობის შესახებ). თანმიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ერთი ზღვარი. მტკიცებულება. დაე იყოს

თემატური კალენდრის დაგეგმვა ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი კლასი p / p p / t გაკვეთილის თემა საათების რაოდენობა შესავალი გამეორება 2 ფესვები, გრადუსები, ლოგარითმები 2 2 ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ტრიგონომეტრიული

(ფუნქციის მონოტონური მატებისა და კლების ინტერვალები - ფუნქციის ამოზნექობა ინტერვალზე - გადახრის წერტილები - ასიმპტოტები - ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა) ფუნქციის მონოტონური გაზრდისა და კლების ინტერვალები.

რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტრო რუსეთის ნავთობისა და გაზის სახელმწიფო უნივერსიტეტი ი.მ. გუბკინა V.I. ივანოვი ს.ი. ვაზინის სახელმძღვანელო თემის შესწავლა "ფუნქციების კვლევა"

დახაზეთ ფუნქცია y ფუნქციის დომენი არის ინტერვალი (;0) (0;) y ფუნქცია ლუწია, რადგან y() y(), და () ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია OY ღერძის მიმართ 3 განვიხილოთ ქცევა

წარმოებული ფუნქციის ცნება გვქონდეს X სიმრავლეზე განსაზღვრული ფუნქცია და X წერტილი იყოს შიდა წერტილი, წერტილი, რომლისთვისაც არის X-ის სამეზობლო. აიღეთ ნებისმიერი წერტილი და აღვნიშნოთ იგი ე.წ.

98 მათემატიკა: ალგებრა და ანალიზის გეომეტრიის დასაწყისი განტოლებების ამონახსნები ამოზნექილი ფუნქციის თვისებებზე დაფუძნებული Lipatov SV Kaluga MBOU "Ke Tsiolkovsky-ის სახელობის 9 ლიცეუმი" 0 "A" კლასის ხელმძღვანელი:

P0 წარმოებული განვიხილოთ ზოგიერთი ფუნქცია f () არგუმენტის მიხედვით. მოდით ეს ფუნქცია განისაზღვროს 0 წერტილში და მის ზოგიერთ სამეზობლოში, უწყვეტი ამ წერტილსა და მის სამეზობლოში.

ლექციები მათემატიკური ანალიზის შესახებ MOIAIS-ის სტუდენტებისთვის 1-ლი სემესტრის CITIZENSEV E.Yu. თავი 1 ერთი ცვლადის ფუნქციის შესწავლა 1.1 მატებისა და კლების ნიშნები. განმარტება. განსაზღვრულია f(x) ფუნქცია

ბიჭებო, ბოლო გაკვეთილზე ვისწავლეთ ახალი, სპეციალური ნომერი ე. დღეს გავაგრძელებთ ამ ნომრით მუშაობას. ჩვენ შევისწავლეთ ლოგარითმები და ვიცით, რომ ლოგარითმის საფუძველი შეიძლება იყოს რიცხვების სიმრავლე

ფუნქციების გამოკვლევა და გრაფიკების აგება თეორიული მასალა შიგთავსი 1) ფუნქციის დომენი 2) ფუნქციის თვისებები (ლუწი, კენტი, პერიოდულობა) 4) ფუნქციის ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები.

BBK 22.161 ახალი მიდგომა ფუნქციების შემცირებისა და გაზრდის გამოკვლევის მეთოდში A.D. ნოვიკოვის არმავირის სახელმწიფო პედაგოგიური ინსტიტუტი, არმავირი საკვანძო სიტყვები და ფრაზები: გაზრდა

დიფერენციალური გამოთვლა ძირითადი ცნებები და ფორმულები განმარტება 1 ფუნქციის წარმოებულს წერტილში ეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ არგუმენტის ზრდა

განათლების ფედერალური სააგენტო მოსკოვის გეოდეზიისა და კარტოგრაფიის სახელმწიფო უნივერსიტეტი (MIIGAiK) მეთოდოლოგიური ინსტრუქციები და ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის კურსზე უმაღლესი მათემატიკა

ალგებრის სამუშაო პროგრამა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი მე-11 კლასი საბაზო საფეხური 2018/2019 სასწავლო წელს საბაზო სკოლაში მათემატიკის სწავლება განისაზღვრება შემდეგი მარეგულირებელი დოკუმენტებით: -

ალგებრული განტოლებები სადაც განმარტება. ალგებრული არის განტოლება ფორმის 0, P () 0, ზოგიერთი რეალური რიცხვი. 0 0 ამ შემთხვევაში, ცვლადს ეწოდება უცნობი, ხოლო რიცხვები 0

მათემატიკისა და ინფორმატიკის დეპარტამენტი უმაღლესი მათემატიკის ელემენტები საგანმანათლებლო და მეთოდური კომპლექსი დისტანციური ტექნოლოგიების გამოყენებით სწავლის საშუალო პროფესიული განათლების სტუდენტებისთვის ლიმიტების თეორიის მოდული შედგენილი: ასოცირებული პროფესორი

ლექციები 7-9 თავი 7 ფუნქციის გამოკვლევა 7 ფუნქციის თეორემას გაზრდა და შემცირება ფუნქციის ერთფეროვნების შესახებ თუ f (ინტერვალზე (a; b, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქცია f (იზრდება) თუ f (ინტერვალზე

წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესწავლაში ფუნქციის ქცევის შესწავლა წარმოებულების დახმარებით. ერთფეროვნების ინტერვალები. ექსტრემების განმარტება. ინტერვალები, რომლებზეც ფუნქცია f (x) იზრდება (მცირდება),

Wwwfmclassru რიცხვების შედარების მეთოდები სიდიდეების ანალიზი, cos0 და si 40 ფორმულების გამოყენება

პირადობის დამადასტურებელი საბუთები ზოგჯერ შეიძლება მიღწეული იყოს ერთი აშკარა შენიშვნის გამოყენებით:

თუ რომელიმე ინტერვალზე ფუნქცია იდენტურად ტოლია მუდმივის, მაშინ მისი წარმოებული ამ ინტერვალზე მუდმივად ნულის ტოლია:

ზე
ზე
.

Დავალება 1. შეამოწმეთ ვინაობა:

ჩვენ ვიანგარიშებთ მის წარმოებულს (მით X):

ამიტომ (შენიშვნა)
. შესაბამისად,
რაც იდენტობის (1) ტოლფასია.

Დავალება 2. შეამოწმეთ ვინაობა:

(2)

დადასტურება: განიხილეთ ფუნქცია

ეს დავამტკიცოთ

ვიპოვოთ მისი წარმოებული:

ნიშნავს
.
ზე x=0
მაშასადამე, იდენტურობა (2) მართალია.

განხილულ მაგალითებთან დაკავშირებით შეიძლება აღინიშნოს, რომ მუდმივის პოვნისას, ინტეგრაცია FROMსასარგებლოა იმ ცვლადის მნიშვნელობების დაფიქსირება, რომელთანაც დიფერენციაცია ხდება ისე, რომ მივიღოთ უმარტივესი შესაძლო გამოთვლები.

9.3. წარმოებულის გამოყენება ალგებრული და ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების გასამარტივებლად.

წარმოებულის გამოყენების მეთოდი ალგებრული და ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გარდაქმნისთვის ემყარება იმ ფაქტს, რომ წარმოებულს ზოგჯერ აქვს ბევრად უფრო მარტივი ფორმა, ვიდრე ორიგინალური ფუნქცია, რის გამოც ის ადვილად ინტეგრირებულია, რაც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ორიგინალის სასურველი ტრანსფორმაცია. გამოხატვა:

დავალება 1გამოთქმის გამარტივება:

გამოსავალი:ამ გამოთქმის აღმნიშვნელი
მექნება:

ამრიგად, მოცემული გამოხატულება (1) უდრის
.

დავალება 2.გამოთქმის გამარტივება:

გამოსავალი:ამ გამოთქმის აღნიშვნა მეშვეობით
, მექნება:

და ზე
ჩვენ ვიღებთ:

Ისე

Დავალება 3. ფუნქციის ჩაწერის გამარტივება:

გამოსავალი: ჩვეულებრივი ტრიგონომეტრიული აპარატის გამოყენება გამოიწვევს შედარებით რთულ გამოთვლებს. აქ უფრო მოსახერხებელია წარმოებულის გამოყენება:

აქედან

მოდი ვიპოვოთ :

ამრიგად, ფუნქცია (2) უდრის

Დავალება 4. გაამარტივეთ მრავალწევრის ჩაწერა:

ამოხსნა: აღნიშნეთ მრავალწევრი (3) მეშვეობით
და იპოვეთ თანმიმდევრულად ამ ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულები:

გასაგებია რომ
Ამიტომაც
, სად
, იპოვე : ზე

,
.

9.4 გამონათქვამის დაშლა ფაქტორებად წარმოებულის გამოყენებით.

Დავალება 1. გამოთქმის ფაქტორი:

გამოსავალი: დათვლა ცვლადი და და მუდმივი ფიქსირებული (პარამეტრები) და მოცემული გამოხატვის აღმნიშვნელი მეშვეობით
, მექნება:

ამიტომ (2)

სადაც - მუდმივი, ე.ი. ამ შემთხვევაში, გამოსახულება დამოკიდებულია პარამეტრებზე და . საპოვნელად თანასწორობაში
დავაყენოთ
მაშინ
.

მიიღეთ

Დავალება 2. გამოთქმის ფაქტორი:

ამოხსნა: ვინაიდან ცვლადი ყველაზე ნაკლებად შედის ამ გამოთქმაში, ჩათვალეთ ის ფუნქციად
და გვექნება:

ჩვენ ვიღებთ:

ამრიგად, ორიგინალური გამოხატულება (3) უდრის

Დავალება 3. გამოთქმის ფაქტორი:

ამოხსნა: ამ გამოთქმის აღნიშვნა მეშვეობით
და ითვლიან და მუდმივი, ვიღებთ:

საიდან, საიდან დამოკიდებულია მხოლოდ და . ამ იდენტობაში ჩასმა
, ვიღებთ
და

მეორე ფაქტორის ფაქტორიზაციისთვის ჩვენ ვიყენებთ იგივე ტექნიკას, მაგრამ განვიხილავთ ცვლადად , ვინაიდან ეს ცვლადი უფრო მცირეა ვიდრე . მისი მეშვეობით აღნიშვნა
და ითვლიან და მუდმივი, გვექნება:

ამრიგად, ორიგინალური გამოხატულება (4) უდრის

9.5. წარმოებულის გამოყენება განტოლებათა ფესვების არსებობის საკითხებში.

წარმოებული შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმის დასადგენად, თუ რამდენი ამონახსნი აქვს განტოლებას. აქ მთავარ როლს ასრულებს მონოტონურობის ფუნქციების შესწავლა, მისი უკიდურესი მნიშვნელობების პოვნა. გარდა ამისა, გამოიყენება მონოტონური ფუნქციების თვისება:

Დავალება 1. თუ ფუნქცია იზრდება ან მცირდება გარკვეული ინტერვალით, შემდეგ ამ ინტერვალზე განტოლება
აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი.

ამოხსნა: ამ განტოლების დომენი არის ინტერვალი
განმარტება ამ ინტერვალის ფუნქციაზე , აყენებს

შემდეგ, ჩართვა

,

და ამით ფუნქცია - იზრდება ისე, რომ ამ განტოლებას (1) არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ამონახსნი.

Დავალება 2. რა ღირებულებებზე
აქვს განტოლების ამონახსნები

ამოხსნა: განტოლების დომენი არის სეგმენტი
, განიხილეთ ფუნქცია , აყენებს

შემდეგ ღია ინტერვალზე

ასე რომ, ეს არის ფუნქციის ერთადერთი კრიტიკული წერტილი , რაც აშკარად არის მაქსიმალური წერტილი. Იმდენად, რამდენადაც

მაშინ მიიღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას , ხოლო ყველაზე მცირე მნიშვნელობა - ზე
.

ფუნქციიდან გამომდინარე არის უწყვეტი, მაშინ მისი მნიშვნელობების დიაპაზონი არის სეგმენტი
მის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობას შორის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავდაპირველ განტოლებას (2) აქვს ამონახსნები
.

წარმოებული ფართოდ გამოიყენება ელემენტარულ მათემატიკაში რიგი ამოცანების გადაჭრისას. ასეთი ამოცანების მთელი დიაპაზონიდან გამოვყოფთ იმ ამოცანებს, რომელთა ამოხსნისთვის გამოიყენება ლაგრანჟის თეორემა და მისი თანმხლები შედეგები. მათ შორისაა ამოცანები იდენტობების, უტოლობების დასამტკიცებლად, ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამოყვანისთვის, ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორინგი, განტოლებების ამოხსნა, უტოლობა, განტოლებათა სისტემები, განტოლებები პარამეტრებით. ამ შემთხვევაში შეიძლება აღინიშნოს გადაწყვეტის ზოგადი მეთოდები და ზოგიერთი კონკრეტული მეთოდი.

ლაგრანჟის თეორემა. დაე, ფუნქცია f იყოს უწყვეტი სეგმენტზე და დიფერენცირებადი ამ სეგმენტის შიდა წერტილებში. შემდეგ არის შიდა წერტილი ამ სეგმენტიდან ისეთი, რომ<Рисунок1>.

დასკვნა 1 (მუდმივი მდგომარეობა) . თუ ფუნქცია f უწყვეტია სეგმენტზე და მისი წარმოებული უდრის ნულს ამ სეგმენტში, მაშინ f ფუნქცია მუდმივია ზე.

დასკვნა 2. თუ ფუნქციები და არის უწყვეტი სეგმენტზე და აქვთ იგივე წარმოებულები ამ სეგმენტში, მაშინ ისინი განსხვავდებიან მხოლოდ მუდმივი წევრით.

ფუნქციის ერთფეროვნების პირობა ასევე ლაგრანჟის თეორემის შედეგია. სასკოლო სახელმძღვანელოში თეორემის სახით ცალ-ცალკე დგინდება.

დასკვნა 3 ( ერთფეროვნების მდგომარეობა). თუ ფუნქცია f უწყვეტია I ინტერვალზე და მისი წარმოებული დადებითია (შესაბამისად, უარყოფითი) ამ ინტერვალის შიდა წერტილებში, მაშინ f ფუნქცია იზრდება (შესაბამისად, მცირდება) I-ზე.

ლაგრანჟის თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას:

უტოლობების დადასტურებისას, კერძოდ - რიცხვითი უტოლობები;

მრავალწევრის ან განტოლების ფესვების საკითხის გამოკვლევისას;

განტოლებების ამოხსნისას.

ასეთი ამოცანების ამოხსნის პროცესში მხედველობაში მიიღება ფუნქცია f(x) სეგმენტზე, რომელიც აკმაყოფილებს ლაგრანჟის თეორემის პირობებს და მასზე იწერება ლაგრანჟის ფორმულა.<Рисунок1>, c (a;b) და f'(c) ფასდება და, შესაბამისად, გამოხატულება<Рисунок2>, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ განხილული უტოლობა ან გადავჭრათ მრავალწევრის, განტოლების ფესვების პრობლემა.

მაგალითი 1. დაამტკიცეთ, რომ<Рисунок3>.

გამოსავალი. ფუნქცია f(x)=arccosx სეგმენტზე არის უწყვეტი და დიფერენცირებადი ინტერვალზე (0.6;0.8),<Рисунок4>. მაშასადამე, ამ სეგმენტზე f(x) ფუნქციისთვის ლაგრანგის თეორემის პირობები დაკმაყოფილებულია და<Рисунок5>, სადაც 0.6 , ე.ი.<Рисунок7>. მოდით შევაფასოთ რაოდენობა<Рисунок8>. 0.6 წლიდან <0,8, следовательно <Рисунок10>. მერე<Рисунок11>და ბოლოს<Рисунок3>.

მაგალითი 2. დაამტკიცეთ, რომ e x >=ex.

გამოსავალი. უტოლობა მოქმედებს x=1-ზე. განვიხილოთ ფუნქცია f(x)=e x -ex. მაშინ ნებისმიერი b რიცხვისთვის (b>1) ამ ფუნქციისთვის ლაგრანჟის თეორემის პირობები დაკმაყოფილებულია სეგმენტზე და b-სთვის<1 – выполняется условие теоремы на отрезке и, следовательно, существует внутренняя точка соответствующего отрезка, такая, что <Рисунок12>, ე.ი.<Рисунок13>. ვინაიდან c>1 b>1-ით, მაშინ e c >e და, შესაბამისად, e c -e>0. მერე<Рисунок14>, და აქედან გამომდინარე e b -eb>0, ე.ი. e b >eb ნებისმიერი b>1. ამრიგად, დადასტურდა, რომ e x >=ex x>=1-ისთვის.

თუ ბ<1, то <Рисунок15>, ე.ი. დან<1, тогда e c , აქედან გამომდინარეობს, რომ e b -eb>0, ე.ი. ებ >ებ.

ასე რომ, დადასტურდა, რომ უტოლობა e x >= ex მართალია ნებისმიერი რეალური x-სთვის. კერძოდ, x=c+1-ზე ვიღებთ e c+1 >=e(c+1), ე.ი. e c >=c+1, სადაც c არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

მაგალითი 3. დაამტკიცეთ, რომ განტოლება<Рисунок16>არ აქვს რეალური დადებითი ფესვები.

გამოსავალი. მოდით b იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი. განიხილეთ ფუნქცია f(x)= <Рисунок17>, უწყვეტი ინტერვალზე და აქვს წარმოებული<Рисунок18>ინტერვალზე (0;b). ლაგრანგის თეორემით გვაქვს<Рисунок19>, 0. და რადგან ნებისმიერი с>0 e c >c+1 (დადასტურებული მაგალითში 2), მაშინ e c -c>1 და, შესაბამისად,<Рисунок21>. აქედან ვიღებთ<Рисунок22>, რაც ნიშნავს<Рисунок23>ნებისმიერი b>0. Ამგვარად,<Рисунок24>x>0-ისთვის, ე.ი.<Рисунок25>, აქედან გამომდინარე, თანასწორობა<Рисунок16>არ მოქმედებს არცერთ x>0-ზე. და ასე განტოლება<Рисунок16>არ აქვს რეალური დადებითი ფესვები.

მაგალითი 4. დაამტკიცეთ, რომ ინტერვალზე (0, 2) არის განტოლების მაქსიმუმ ორი განსხვავებული რეალური ფესვი.<Рисунок26>.

გამოსავალი. დავუშვათ, რომ განტოლებას აქვს მინიმუმ სამი განსხვავებული რეალური ფესვი x 1 , x 2 , x 3, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს (0.2) და მოდით x 1 , ე.ი. f(x 1)=f(x2)=f(x3)=0. თითოეულ სეგმენტზე f (x) ფუნქციისთვის ლაგრანჟის თეორემის პირობები დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, არის რიცხვები c 1 და c 2 ინტერვალებიდან (x 1; x 2), (x 2; x 3) , შესაბამისად, ისეთი, რომ<Рисунок28>და<Рисунок29>. და რადგან f (x 1) \u003d f (x 2) \u003d f (x 3) \u003d 0, მაშინ f '(c 1) \u003d 0 და f '(c 2) \u003d 0 და 1-დან 2.

ვიპოვოთ წარმოებული f'(x):

<Рисунок30>. იმიტომ რომ<Рисунок31>ნებისმიერი x-ისთვის, მაშინ განტოლებას f’(x)=0 აქვს ერთი ფესვი x=, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (0, 2). ჩვენ მივედით წინააღმდეგობამდე, რადგან c 1 და c 2 (c 1 c 2) არის f’(x)=0 განტოლების ფესვები, რითაც ვამტკიცებთ, რომ განტოლება<Рисунок26>აქვს მაქსიმუმ ორი განსხვავებული რეალური ფესვი ინტერვალზე (0,2).

მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლება x 9 -9x 5 +63x-55=0.

გამოსავალი. ადვილი მისახვედრია, რომ რიცხვი x 1 \u003d 1 არის ამ განტოლების ფესვი. დავუშვათ, რომ არსებობს კიდევ ერთი რეალური ფესვი x 2, რომელიც განსხვავდება x 1-ისგან. რიცხვები x 1 და x 2 არის f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 ფუნქციის ნულები და, შესაბამისად, f(x 1)=f(x 2)=0. გამოვიყენოთ ლაგრანჟის თეორემა f(x) ფუნქციაზე x 1 ინტერვალზე x 2 . მაშასადამე, ამ სეგმენტიდან არის შიდა წერტილი ისეთი, რომ<Рисунок32>. იმის გათვალისწინებით, რომ f (x 1) \u003d f (x 2) \u003d 0, მივიღებთ f' (c) \u003d 0, ე.ი. რიცხვი c არის f’(x)=0 განტოლების ფესვი. მაგრამ წარმოებული f’(x)=9x 8 -45x 4 +63, ე.ი. f’(x)=9(x 4 -2.5) 2 +6.75 დადებითია ნებისმიერი x-ისთვის, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას f’(x)=0 ფესვები არ აქვს. შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა ამტკიცებს, რომ ნაპოვნი ფესვი x 1 =1 არის x 9 -9x 5 +63x-55=0 განტოლების ერთადერთი ფესვი.

განსაზღვრეთ y \u003d ფუნქციის კრიტიკული წერტილების რაოდენობა (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9).

გამოსავალი. ვინაიდან f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) მრავალწევრის ხარისხი არის 5, მაშინ მისი წარმოებული f '(x) არის მეოთხე ხარისხის მრავალწევრი და არ აქვს ოთხზე მეტი რეალური ფესვი. გამოვიყენოთ ლაგრანჟის თეორემა f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9) [-1;0], , , ინტერვალებზე და გავითვალისწინოთ რომ f( -1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. თითოეულ ასეთ სეგმენტზე არის შიდა წერტილები x 1 , x 2 , x 3 , x 4 შესაბამისად, ისეთი, რომ<Рисунок33>, <Рисунок34>, <Рисунок35>, <Рисунок36>, ე.ი. f'(x 1)=0, f'(x 2)=0, f'(x 3)=0, f'(x 4)=0. და თუ გავითვალისწინებთ, რომ x 1, x 2, x 3, x 4 არის მეოთხე ხარისხის f'(x) მრავალწევრის სხვადასხვა ფესვები, დავასკვნით, რომ მიღებული ფესვების გარდა სხვა ფესვები არ არსებობს და, შესაბამისად, ფუნქცია y =. (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) აქვს ოთხი კრიტიკული წერტილი.

ფუნქციის მონოტონურობის პირობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას:

უტოლობების ამოხსნისას;

ცვლადით უტოლობების დამტკიცებისას;

რიცხვითი უტოლობების დადასტურებისას;

განტოლების ფესვების რაოდენობის საკითხის გამოკვლევისას;

ზოგიერთ შემთხვევაში, განტოლებების ამოხსნისას, განტოლებები პარამეტრებით, განტოლებათა სისტემები.

ამოცანების გადაწყვეტა მონოტონურობის პირობის გამოყენებით ემყარება ფუნქციის გაზრდას ან შემცირებას და მისი წარმოებულის ნიშანს გარკვეულ ინტერვალზე არსებულ ურთიერთობას. ამავდროულად, განხილული მონოტონური ფუნქციის ამ ინტერვალიდან არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობების შედარებისას, კეთდება დასკვნა ამ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების შესახებ.

მაგალითი 7. დაამტკიცეთ, რომ 3xcosx .

გამოსავალი. დავამტკიცოთ, რომ თუ 0 , შემდეგ sinx+sin2x-3xcosx>0, ე.ი. cosx(tgx+2sinx-3x)>0. განვიხილოთ უწყვეტი ინტერვალზე<Рисунок38>ფუნქცია f(x)=tgx-3x+2sinx. მისი წარმოებული<Рисунок39>ზე<Рисунок40>იღებს დადებით მნიშვნელობებს, შესაბამისად, ფუნქცია f(x) იზრდება ინტერვალზე<Рисунок38>და f(x)>f(0) მასზე.

იმის გათვალისწინებით, რომ f(0)=0, გვექნება tgx-3x+2sinx>0. და რადგან შორის<Рисунок38>cosx>0, შემდეგ cosx(tgx+2sinx-3x)>0. ამრიგად, დადასტურდა, რომ sinx+sin2x-3xcosx>0, ანუ რომ 3xcosx .

მაგალითი 8. დაამტკიცეთ

1) <Рисунок41>და<Рисунок42>თუ 0

2) <Рисунок43>და<Рисунок44>, თუ ე<=x 1

გამოსავალი. განვიხილოთ ფუნქცია უწყვეტი ინტერვალზე (0;+)<Рисунок45>. ვინაიდან მისი წარმოებული<Рисунок46>უდრის ნულს x=e-ზე და 0-ზე 0 და f'(x)<0 при x>e, შემდეგ ინტერვალზე (0;e] ფუნქცია f(x) იზრდება, ხოლო ინტერვალზე მცირდება. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები x=-3, x=-2, x= წერტილებში. 2, x=5 გვაქვს f( -3)=-1<0, f(-2)=13>0, f(2)=-51<0, f(5)=111>0. ვინაიდან ფუნქცია f(x) სეგმენტების ბოლოებში [-3;-2], [-2;2] იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს, მაშინ თითოეულ მათგანს აქვს განტოლების მხოლოდ ერთი ფესვი. ამრიგად, განტოლებას 2x 3 -24x-19 \u003d 0 აქვს სამი რეალური ფესვი, რომლებიც არიან ინტერვალებში (-3; -2), (-2; 2), (2; 5).

ლაგრანჟის თეორემის დანარჩენი შედეგები შეიძლება გამოყენებულ იქნას:

იდენტობების დადასტურებისას, კერძოდ, ელემენტარული მათემატიკის ფორმულების გამოყვანისას;

გამონათქვამების გამარტივებისას;

ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორებად დაშლისას.

რიგი ასეთი ამოცანების გარკვეულ ინტერვალზე ამოხსნისას განიხილება რომელიმე f(x) ფუნქცია, რომ მისი წარმოებული f’(x)=0 და, შესაბამისად, ფუნქცია მუდმივია, ე.ი. აქვს ფორმა f(x)=c, ან ორი ფუნქცია f(x) და g(x), ისეთი, რომ f'(x)=g'(x) და დასკვნა გამოდის, რომ f(x)=g(x) )+c (c არის მუდმივი). ეს მუდმივი გვხვდება x 1-ის ტოლი x-ის დაყენებით.

მაგალითი 12. გამოიღეთ ფორმულა<Рисунок61>.

გამოსავალი. ფუნქცია f(x)=<Рисунок62>უწყვეტი მთელ რიცხვთა წრფეზე. ვიპოვოთ ამ ფუნქციის წარმოებული f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f'(x)=0 ნებისმიერი x რეალური მნიშვნელობისთვის, შესაბამისად, ფუნქციის მუდმივობის პირობაზე დაყრდნობით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფუნქცია f(x) მუდმივია, ე.ი. f(x)=c. c მუდმივის დასადგენად ვსვამთ x=0 და ვიღებთ f(0)=c, ე.ი. sin 2 0-0.5+0.5cos0=c. ამრიგად, c=0 და შესაბამისად f(x)=0, საიდანაც ვიღებთ<Рисунок62>=0, ან<Рисунок61>.

მაგალითი 13. დაამტკიცეთ, რომ arctgx=arcsin<Рисунок63>x-ზე<0.

გამოსავალი. განვიხილოთ ორი ფუნქცია f(x)=arctgx და g(x)=arcsin უწყვეტი ინტერვალზე (-;0]<Рисунок64>, მაშინ ისინი უწყვეტია ნებისმიერ ინტერვალზე . მოდი ვიპოვოთ ამ ფუნქციების წარმოებულები.

<Рисунок65>, <Рисунок66>. ვინაიდან x-ისთვის<0 |x|=-x, то <Рисунок67>და შემდეგ f'(x)=g'(x) სეგმენტის შიგნით. მე-2 დასკვნის საფუძველზე გვაქვს f(x)=g(x)+c, სადაც c არის მუდმივი. c-ის განსაზღვრისთვის, ვთქვათ x=-1, რომელიც იძლევა arctg(-1)=arcsin<Рисунок69>, ე.ი<Рисунок68>ასე რომ, მივიღებთ arctgx=arcsin<Рисунок63>x-ზე<0.

ლაგრანჟის თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას:

უტოლობების დადასტურებისას, კერძოდ - რიცხვითი უტოლობები;

მრავალწევრის ან განტოლების ფესვების საკითხის გამოკვლევისას;

განტოლებების ამოხსნისას.

მაგალითი 1. დაამტკიცეთ, რომ<Рисунок3>.

მაგალითი 2. დაამტკიცეთ, რომ e x >=ex.

თუ ბ<1, то <Рисунок15>, ე.ი. დან<1, тогда e c , აქედან გამომდინარეობს, რომ e b -eb>0, ე.ი. ებ >ებ.

ვიპოვოთ წარმოებული f'(x):

მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლება x 9 -9x 5 +63x-55=0.

განსაზღვრეთ y \u003d ფუნქციის კრიტიკული წერტილების რაოდენობა (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9).

ფუნქციის მონოტონურობის პირობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას:

უტოლობების ამოხსნისას;

ცვლადით უტოლობების დამტკიცებისას;

რიცხვითი უტოლობების დადასტურებისას;

განტოლების ფესვების რაოდენობის საკითხის გამოკვლევისას;

მაგალითი 7. დაამტკიცეთ, რომ 3xcosx .

მაგალითი 8. დაამტკიცეთ

1) <Рисунок41>და<Рисунок42>თუ 0

2) <Рисунок43>და<Рисунок44>, თუ ე<=x 1

ლაგრანჟის თეორემის დანარჩენი შედეგები შეიძლება გამოყენებულ იქნას:

გამონათქვამების გამარტივებისას;

ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორებად დაშლისას.

მაგალითი 12. გამოიღეთ ფორმულა<Рисунок61>.

მაგალითი 13. დაამტკიცეთ, რომ arctgx=arcsin<Рисунок63>x-ზე<0.

მაგალითი 14. დაამტკიცეთ ვინაობა

<Рисунок70>

გამოსავალი. შეამჩნია, რომ<Рисунок71>, <Рисунок72>ნებისმიერი რეალური x და ფუნქციისთვის<Рисунок73>, <Рисунок74>უწყვეტი მთელ რიცხვთა წრფეზე. Ჩვენ გვაქვს<Рисунок75>,

<Рисунок76>.

1) განვიხილოთ ფუნქცია F(x)=f(x)+g(x), x (-;-1) (0;1).

F(x)=<Рисунок77>და F'(x)=f'(x)+g'(x)=<Рисунок78>. თუ x (-;-1), მაშინ |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=-x და F’(x)=0. თუ x (0;1), მაშინ |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=x და F'(x)=0. F(x)=c ფუნქციის მუდმივობის პირობაზე დაყრდნობით, ე.ი.<Рисунок79>. თითოეულ განხილულ ინტერვალზე ჩვენ განვსაზღვრავთ c-ს დაყენებით, მაგალითად, x =<Рисунок80>და x=<Рисунок81>.

<Рисунок82>მაშასადამე, c=.

<Рисунок83>, შესაბამისად c=0. Ჩვენ გვაქვს:<Рисунок84>x-სთვის (-;-1),<Рисунок85>x(0;1)-ისთვის.

2) განვიხილოთ ფუნქცია G(x)=f(x)-g(x), x (-1;0) (1; +).

<Рисунок86>, <Рисунок87>.

თუ x (-1; 0), მაშინ |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=-x და G'(x)=0.

თუ x (1; +), მაშინ |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=x და G'(x)=0. მაშინ ფუნქცია G(x) მუდმივია მითითებულ ინტერვალებზე, ე.ი.<Рисунок88>. მოდით x=<Рисунок80>და x=<Рисунок81>, ვიღებთ<Рисунок89>მაშასადამე, c=;<Рисунок90>, შემდეგ c=0.

Ჩვენ გვაქვს:<Рисунок91>x-ზე (-1; 0),<Рисунок92>x-სთვის (1;+).

3) გამოთვალეთ f(x) და g(x) მნიშვნელობები x=± 1-ისთვის და x=0.

f(-1)=arccos(-1)=, g(-1)=arcsin0=0; ამიტომ x=-1-ისთვის f(x)=+g(x), ე.ი.<Рисунок93>. <Рисунок94>, <Рисунок95>, შესაბამისად, x=0-ზე f(x)=-g(x), ე.ი.<Рисунок96>. f(1)=arccos1=0, g(1)=arcsin0=0, შესაბამისად, x= 1-ზე f(x)=g(x), ე.ი.<Рисунок97>.

ამრიგად, ეს იდენტურობა დადასტურებულია ყველა რეალური x-ისთვის.

მაგალითი 15. გამოხატვის ფაქტორინგი

y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x).

გამოსავალი. ჩვენ განვიხილავთ ამ გამოსახულებას x ცვლადის ფუნქციად: f (x) \u003d y 2 (x-z) + x 2 (z-y) + z 2 (y-x).

იპოვეთ f'(x).

f'(x)=y 2 +2x(zy)-z 2 =y 2 -z 2 -2x(yz)=(yz)(y+z)-2x(yz)=(yz)(y+z- 2x).

g'(x)=(y-z)((y+z)-2x). როგორც g(x) ფუნქცია შეგვიძლია ავიღოთ g(x)=(y-z)((y-z)x-x 2).

ვინაიდან f(x) და g(x) ფუნქციები უწყვეტი და დიფერენცირებადია მთელ რეალურ წრფეზე და f'(x)=g'(x), მაშინ დასკვნის მიხედვით 2 f(x)=g(x)+c, სადაც არ არის დამოკიდებული x-ზე, მაგრამ შესაძლოა დამოკიდებული იყოს y-ზე და z-ზე. გვაქვს y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)((y+z)x-x 2)+c. ვიპოვოთ c ამ ტოლობის დაყენებით, მაგალითად, x=0. გვაქვს yz 2 -zy 2 =c. მაშინ f(x)=g(x)+yz 2 -zy 2, ე.ი.

f(x)=(yz)((y+z)xx 2)+yz 2 -zy 2 =(yz)(xy+xz-x 2)-yz(yz)=(yz)(xy-x 2 + xz-yz)=(yz)(x(yx)-z(yx))=(yz)(yx)(xz).

ასე რომ y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)(y-x)(x-z).